探索元素自位排斥与圆周旋转同构的离散组合规律
在排列问题中，有些特定的限制条件经常出现，如错位排列和圆周排列。它们在 NOI 计数问题中出现频率极高。
错位排列（简称错排）是指将编号 $1 \to n$ 的元素排列，使得任何一个元素都不在它的初始位置上。记错排数为 $D_n$。其递推公式为：
其边界条件为：$D_1 = 0, \; D_2 = 1$。物理推导逻辑为：第 $n$ 个元素可以与前面任一元素 $i$ 对换，分类讨论 $i$ 是否与 $n$ 对调位置。
圆排列是指 $n$ 个不同元素围成一个圆圈的排列方法。因为圆圈旋转后相对位置不变，所以旋转对称的排列属于同一种：
这相当于固定其中任意一个元素作为参考系，其余 $n-1$ 个元素进行直线全排列。