高斯消元法 - NOI提高级教程

📖 高斯消元法求解线性方程组

高斯消元法 (Gaussian Elimination) 是求解线性方程组的核心算法。该算法以矩阵的初等行变换为基础，将一般的增广矩阵化为阶梯形矩阵，进而回代求出未知数的值。

📐 代数消元与几何交点

一个包含三个未知数的方程组：

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \end{cases}$

在几何上，每个方程代表三维空间中的一个平面。方程组的唯一解对应这三个平面的公共交点。消元的过程相当于在不改变交点的前提下，旋转和移动这三个平面，使其最终与坐标轴垂直。

可以在下方直接修改增广矩阵初始系数，点击“自动消元”或“单步消元”开始解题演示。

当前消元列 -

行变换动作 -

消元阶段准备

方程解 [x, y, z] 未求解

📊 增广矩阵变换跟踪

🌐 三维平面空间几何视角

平面 1

平面 2

平面 3

解点

// 高斯消元模板：求解 N=3 线性方程组
bool gauss(double a[3][4], double ans[3]) {
    for (int i = 0; i < 3; i++) { // 循环每一列
        int r = i; // 寻找主元
        for (int j = i + 1; j < 3; j++)
            if (std::abs(a[j][i]) > std::abs(a[r][i])) r = j;
        if (std::abs(a[r][i]) < 1e-9) return false; // 无唯一解
        if (r != i) // 交换行
            for (int j = i; j <= 3; j++) std::swap(a[i][j], a[r][j]);
        for (int j = i + 1; j < 3; j++) { // 消去下方元素
            double f = a[j][i] / a[i][i];
            for (int k = i; k <= 3; k++) a[j][k] -= f * a[i][k];
        }
    }
    for (int i = 2; i >= 0; i--) { // 回代求解
        double sum = 0;
        for (int j = i + 1; j < 3; j++) sum += a[i][j] * ans[j];
        ans[i] = (a[i][3] - sum) / a[i][i];
    }
    return true;
}

📋 求解消元分析日志