高中几何：平面几何与向量

📖 几何与计算几何基础：向量的威力

在信息学竞赛（特别是计算几何）中，向量 (Vector) 是最基本的研究对象。利用向量的代数运算，我们可以避开三角函数，通过单纯的乘加运算高效判断点线关系、多边形面积和线段交点。

📐 向量点积 (Dot Product) —— 投影与夹角

对于二维向量 $\vec{u} = (u_x, u_y)$ 和 $\vec{v} = (v_x, v_y)$，其点积定义为：

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$

几何意义：$\vec{u}$ 在 $\vec{v}$ 方向上的投影长度乘以 $\vec{v}$ 的模长。

$\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$：夹角 $\theta$ 为锐角 ($< 90^\circ$)。
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$：夹角 $\theta = 90^\circ$，即两向量垂直。
$\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$：夹角 $\theta$ 为钝角 ($> 90^\circ$)。

📐 向量叉积 (Cross Product) —— 面积与旋转方向

对于二维向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$，其叉积（标量形式）定义为：

$\vec{u} \times \vec{v} = u_x v_y - u_y v_x = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin\theta$

几何意义：两向量围成的平行四边形的有向面积。

$\vec{u} \times \vec{v} > 0$：$\vec{v}$ 在 $\vec{u}$ 的逆时针方向（左侧）。
$\vec{u} \times \vec{v} = 0$：两向量共线。
$\vec{u} \times \vec{v} < 0$：$\vec{v}$ 在 $\vec{u}$ 的顺时针方向（右侧）。

操作提示：可以直接在下方绘图区中鼠标拖动蓝色箭头端点 $\vec{u}$ 和紫色箭头端点 $\vec{v}$。

用鼠标拖动向量的箭头端点，观察右侧的监测变量和下方的 C++ 代码。

向量 u & v u=(4,2), v=(2,5)

点积 u · v 18.00

夹角 θ 48.37°

叉积 u × v (有向面积) 16.00

📐 二维向量交互空间

向量 u

向量 v

平行四边形(面积)

投影向量

struct Point { double x, y; };
typedef Point Vector;
Vector operator - (Point A, Point B) { return {A.x - B.x, A.y - B.y}; }

// 向量点积
double Dot(Vector u, Vector v) {
    return u.x * v.x + u.y * v.y;
}

// 向量叉积
double Cross(Vector u, Vector v) {
    return u.x * v.y - u.y * v.x;
}

// 利用叉积计算三角形面积 (S = |u × v| / 2)
double Area2(Point A, Point B, Point C) {
    return Cross(B - A, C - A);
}

📋 几何运算历史步骤