多重集的排列与组合

利用隔板模型（Stars and Bars）可视化推导有重复元的分治选取数

📖 离散组合数学：重复元选取的代数公式

在排列组合中，多重集排列 (Permutations with Repetition) 和多重集组合 (Combinations with Repetition) 属于高阶内容。它们的计数公式都可以通过化归法解决。

📐 多重集的全排列公式

设多重集 $S = \{n_1 \cdot a_1, \; n_2 \cdot a_2, \; \ldots, \; n_k \cdot a_k\}$，元素总数为 $n = \sum n_i$。则其全排列的个数为：

$P = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$

其物理解释为：先看作 $n!$ 种全排列，再除以同类元素内部的无差别排列数 $n_i!$。

📐 多重集组合：隔板模型 (Stars and Bars)

从 $n$ 种不同的元素中，允许重复地选择 $k$ 个元素，这等价于将 $k$ 个无区别小球放入 $n$ 个有区别盒子的方法数。 其经典构造为：在排成一排的 $k$ 个小球中插入 $n-1$ 个隔板。总共 $n+k-1$ 个位置，选择 $n-1$ 个位置放隔板，其余放小球：

$\binom{n+k-1}{n-1} = \binom{n+k-1}{k}$
盒子数 n (元素种类): 3
小球数 k (选择总数): 6
调节上方参数。点击“随机排布”可生成一个随机的星星隔板组合及对应的盒子分布。
参数状态 n=3, k=6
组合数公式 C(3+6-1, 6) = C(8, 6)
总可能数 28 种放法
当前分配状态 x1=2, x2=1, x3=3
📋 组合推导分析日志